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标题: 怎么理解不确定度关系？ [打印本页]

作者
Author: 幻七熏 时间: 2021-9-8 10:10
标题: 怎么理解不确定度关系？
根据不确定度关系，电子动量如果能精确测定，那么坐标位置的不确定度应该是无穷大了，是不是说明电子动量实验无法精确测量呢？谢谢指教！

作者
Author: zjxitcc 时间: 2021-9-8 10:17
是动量与坐标位置无法同时被精确测量。

作者
Author: 幻七熏 时间: 2021-9-8 15:17

zjxitcc 发表于 2021-9-8 10:17
是动量与坐标位置无法同时被精确测量。

非常感谢你的回复，还是不太理解，你的意思是实验上可以精确测定动量的，然后此时在实验上想精确测定坐标位置，则会满足不确定度关系吗？

作者
Author: zjxitcc 时间: 2021-9-8 16:06

幻七熏发表于 2021-9-8 15:17
非常感谢你的回复，还是不太理解，你的意思是实验上可以精确测定动量的，然后此时在实验上想精确测定坐标 ...

当然满足。

作者
Author: 万里云 时间: 2021-9-8 23:13
本帖最后由万里云于 2021-9-9 12:46 编辑

昨天晚上走得急，没来得及细写。这个问题说起来话就长了，得从经典力学讲起。

1. 关于一些物理概念的个人观点

首先，“力学”这个词翻译得不太好，让人隐约感觉是“研究力的学科”。“力学”对应的英文词是mechanics，研究的是“体系在外界因素影响下的运动过程”，更贴切的翻译应该是“动力学”。倘若按照字面意思翻译成“机械学”，又不对味儿了。相比之下，“电动力学”就敏锐地捕捉到了“运动”这一精髓，但这个词在断句上有歧义，容易理解成“电动+力学”，而且忽略了磁场。若翻译成“电磁场动力学”或“电磁动力学”，更合适一点。

所以，看教材和文献一定要看原版。不然容易走弯路。

就拿“不确定性原理”来讲，原词是Principle of Uncertainity，还有一个翻译是“测不准原理”。后一种翻译问题很大。“测不准”暗含的意思是这个物理量的取值是唯一确定的，只不过受观测手段限制，总会有误差。而“不确定”的意思是这个物理量本来就没有唯一确定的值。量子力学中的uncertainty，其实是“不确定”而非“测不准”的意思。

2. 经典力学与量子力学的联系

经典力学有三种形式。我们平时学的最多的是牛顿力学，物理专业的会在《经典力学》中学到拉格朗日力学和哈密顿力学。三种形式是等价的，在具体应用场合下某种形式可能更简便。

既然力学是“研究体系在外界因素影响下的运动过程”，首要问题就是如何描述体系的状态和外界因素。根据牛顿第二定律，体系的加速度由外力决定。所以牛顿力学描述状态用坐标x和速度v两个物理量就够了。外界因素对体系的影响，体现在“力”上。所以在高中和大学物理课上，受力分析是重点内容。在拉格朗日力学中，描述体系状态用广义坐标q和广义速度q_dot，外界的影响用拉式量描述。在哈密顿力学中，描述体系状态用广义坐标q和广义动量p，外界影响用哈密顿量描述。

等等，哈密顿量？这个词好像在哪儿见过？

是的，量子化学里的哈密顿量就是它变的。算符间的不对易关系，也和哈密顿力学中的泊松括号有很大关系。整个量子力学和哈密顿力学的关系非常紧密。哈密顿力学中的物理量，通过一些量子化规则（Bohm规则和Weyl规则），可以直接转化为量子力学中的物理量。区别在于，哈密顿力学中p和q都是实数，量子力学中都变成了算符；哈密顿力学中体系状态由p和q描述，量子力学中体系状态由态矢量描述。从态矢量到实际观测到的物理量之间，差了一个狄拉克记号<psi|A|psi>。

3. 不确定性原理

量子力学中广义坐标和广义动量升级为算符，原本描述体系状态的职责被态矢量接管。这就会导致一些比较反直觉的结论。

根据量子力学的基本假定，对某个态测量某个物理量，得到的值是该物理量对应算符的某个本征值。也就是说，制备N个一模一样的态，每次测量的结果也是不一样的。这时候再说“物理量的取值”就没有意义了，只能统计性地给出期望值和方差。期望值就是<psi|A|psi>。方差就是“不确定度”，严格的数学定义是<psi|A^2|psi> - |<psi|A|psi>|^2。

在量子态中，有一些比较特殊的态。制备N个一模一样的态进行测量，每次得到的结果都一样。这些态就是相应物理量的“本征态”。本征态虽然好，但限制很多。其中最重要的一条就是如果两个物理量对应的算符不对易，就不存在共有的本征态。也就是说，在物理量A的本征态下面测量物理量B，结果就是一团乱麻，反之亦然。

很不幸，广义坐标p和广义动量q就不对易！在广义坐标的本征态下测量粒子的坐标，可以得到唯一确定的坐标值，但动量就完全发散了。根据高量书上的内容，在广义坐标x的本征态下面，测量动量得到的期望值为：<q|p|q'>=i * hbar * d/dq' * delta(q-q')，令q=q'再一求导，结果直接爆炸。

但情况也不是那么糟。广义坐标和广义动量的的本征态都是Delta函数，一般只用来做数学上的证明，现实中不会遇到这样的“病态”。现实中研究的，一般是哈密顿算符的本征态。哈密顿算符同时包含q和p，和其中哪个都不对易。在哈密顿算符本征态下面，测量坐标会有一个分布，测量动量也会有一个分布，两个分布的方差之积不能小于某个值。“不确定原理”一般指的是这个关系。

作者
Author: 幻七熏 时间: 2021-9-9 08:17

万里云发表于 2021-9-8 23:13
这个要看量子力学和分析力学。

在分析力学的哈密顿表述中，基本的物理量是广义坐标p和广义动量q，这两个 ...

非常感谢你的回复，看起来也是似懂非懂的

作者
Author: 幻七熏 时间: 2021-9-10 10:39

万里云发表于 2021-9-8 23:13
昨天晚上走得急，没来得及细写。这个问题说起来话就长了，得从经典力学讲起。

1. 关于一些物理概念的个 ...

再次谢谢你的科普，慢慢体会吧

作者
Author: Astery 时间: 2021-9-10 11:20
矢量的不确定关系与方向有关。

同一个方向上的位置与动量具有不确定性关系。

当测量其中一个量如x方向位置时，则x方向动量不能同时测量得到确定值；

在一次测量结束后如果第二次测量x方向动量得到确定值，则不能同时测得x方向位置的确定值；

上述两种情况中，不同方向的位置与动量可以同时测量，如同时测量（x位置，y动量，z位置）则无法确定的物理量为（x动量，y位置，z动量）。

作者
Author: granvia 时间: 2021-9-10 13:14
对6L没讲到但很关键的东西补充一下：

为什么对非本征态的测量得不到确定的结果？因为态叠加原理。当体系处于某个非本征态时，其波函数相当于是一组完备的该物理量的本征态的叠加，其中每个本征态的贡献正比于其叠加系数的平方。当测量该物理量时，体系波函数就随机会塌缩到其中一个本征态上，该态的本征值就是测量结果。虽然这个塌缩是随机的，但塌缩到某个本征态的概率却是确定的，正如前述它正比于叠加系数的平方。根据这样的概率定量关系，我们就能算出大量测量后的平均结果（就是我们熟知的计算期望值的积分公式），同时还能算出测量结果分布的标准偏差——它就是不确定关系里的某个物理量的不确定度。根据这个思路即可推导出不确定关系的定量表达式

作者
Author: zjxitcc 时间: 2021-9-10 13:56

幻七熏发表于 2021-9-9 08:17
非常感谢你的回复，看起来也是似懂非懂的

你不理解也没关系。无论是（1）做量子化学计算；（2）开发量子化学程序，这两种人都用不着这个知识点。

作者
Author: xyy142857 时间: 2021-12-6 22:21
做量化的话，只知道不确定度与对易关系就可以了。做着做着就理解了。。。。

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