不必隐瞒背景信息，这图一摆出来就知道是在研究HCP合金的<c+a> second-order pyramidal slip（二阶锥面滑移）了。

注意[hkl]晶向是按原子连线定义的，(hkl)晶面是按坐标轴截距倒数定义的；即使平时常说[hkl]晶向是(hkl)晶面的法向量，但从立体几何的角度“[hkl]对应的空间向量”与“(hkl)对应的空间平面”只有在立方晶系才会严格地垂直。可以验证，六方晶系（只要求晶胞参数a = b, alpha = beta = 90°, gamma = 120°，无论是不是c/a = 2sqrt(6)/3 ≈ 1.633的等径圆球六方密堆积）的[210]晶向对应的空间向量实际与(100)晶面对应的空间平面严格垂直。如果l ≠ 0，那具体结构的c/a值也会有影响，很可能像晶格正交化一帖那样只能找一定精度内的近似解。

在下图中红色粗箭头是[11-1]晶向、绿色粗箭头是[1-10]晶向（这样变换的结果又是左手坐标系了，如果要保持右手坐标系应该取[-110]）、蓝色粗箭头是你说的[332]晶向，紫色平面是(112)晶面、黄色平面是(1-10)晶面。根据立体几何不难得出，红色与绿色粗箭头相互垂直且均在紫色平面上，黄色平面与紫色平面相交于红色粗箭头且二面角为90°。

然而沿绿色粗箭头方向观察，蓝色粗箭头虽然在黄色平面上但并不垂直于红色粗箭头。

晶格矢量变换的目标是把(112)晶面转到xy平面且令z轴垂直于之，此时需要结合晶胞参数a与c解方程：令蓝色粗箭头为(mmn)晶向，则由向量点乘为0可知蓝色粗箭头垂直于红色粗箭头要求ma^2 - nc^2 = 0，即m/n = c^2/a^2。等径圆球六方密堆积的c^2/a^2 = 8/3故m = 8且n = 3能严格垂直；而假如实际c = 6.696 埃而a = 2.456 埃，那就只能找c^2/a^2的分数近似7/1, 15/2, 52/7等等，m和n越大则越接近垂直但变换后的晶胞也越大。

该结构的VESTA文件也上传于此，随便拿一个六方晶体改的，不要在意元素种类。
hcp_112.vesta (4.46 KB, 下载次数 Times of downloads: 4)

2025-10-31 12:40 上传 Uploaded

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六方晶系的四轴晶向X_4=[11-20]，Y_4=[1-100]，Z_4=[0001]相当于三轴晶向X_3=[330], Y_3=[1-10], Z_3=[001]，按初始晶格矢量a = b, alpha = beta = 90°, gamma = 120°的话这好像是个正交但左手的坐标系诶。

参考我在http://bbs.keinsci.com/thread-55090-1-1.html说的可以用VESTA做此类晶格矢量转化，把三轴晶向按列向量（不是行向量）输入旋转矩阵即可。记得检查Remove Symmetry以及产生的结构有没有原子重叠。