关于玻尔兹曼分布以及自由能计算的相关问题

ZetaFunction

最近在恶补统计热物理，关于自由能遇到了以下疑问：

问题一：
熵、自由能等概念都暗含统计学概念，由此看来对静态的单点结构讨论熵、自由能似乎没有意义。然而对某个分子在能量极小点的结构做振动分析，却可以求得它的熵；通过伞形采样或者MetaDynamics等方法也常常可以求得体系在某一特定的反应坐标ξ下的自由能(相对于原点的自由能差)。教材上求自由能或者其他任意物理量的期望都需要对整个空间积分，要如何理解这些单点结构的“熵”“自由能”？
举例，假设粒子分布于一维空间中，这一空间里由势场V(x)，x=x1和x=x2是势能面上的两个局部极小点。在NVP系综下，平衡后整个体系有自由能F，那么在x1处的自由能F(x1)和x2处的自由能F(x2)以及自由能差ΔF要作何理解呢？
对此我的其中一种理解是，既然体系以及热平衡了，单个坐标就不存在什么“自由能”的说法，所谓单点结构的“自由能”并不是指这个单一结构的“自由能”，而是假设整个体系都位于这一结构所对应的二阶导数的简谐势下，此时这一假象状态的自由能。假设V(x)在x1和x2处的二阶导数分别为a1和a2，那么F(x1)和F(x2)就表示体系位于势场1/2a1(x-x1)^2和1/2a1(x-x2)^2下的自由能，显然这样计算的自由能和二阶导数成正比，符合“低频振动对自由能的影响高于高频振动”。这种理解的问题是如果x不是V(x)的极小点就没法解释了。
另一种理解是，虽然坐标是一维的，但是相空间实际上是二维的。即便坐标固定，动量依然有分布，自由能F(x1)和F(x2)其实是在完整像空间的子空间(x1,p)和(x2,p)中计算子空间的配分函数得到。这样理解的问题是如果V(x1)=V(x2)，那么x1和x2的动量分布似乎是一样的，计算的自由能也是一样的，与“低频振动对自由能的影响高于高频振动”不符。

请问以上两种理解哪一种是对的？又或者都有问题？

问题二：
要计算分子的某个物理量时，比如拟合静电势什么的，经常需要计算在不同几何结构的值，然后根据玻尔兹曼分布做加权平均。然而我在教科书上见到的每一处提及玻尔兹曼分布的地方，其指数上都是总能量E或者哈密顿H，但是实际计算的时候取得却是吉布斯自由能G。是否是NVT系综下就用亥姆霍兹自由能F，NPT系综下就用吉布斯自由能G？
我尝试过在NVP系综下推导，按照教科书上的步骤，如果要计算一个只和坐标有关的物理量A(x)，应该计算相空间(p,q)上每一点的值再乘上此处的密度ρ(p,q)再对全空间积分∫ρ(x,p)A(x)dxdp。积分时如果先对动量做积分∫ρ(x,p)A(x)dp就得到了一个关于坐标的函数B(x)。我对此的理解是这就是A(x)和其权重值的乘积B(x)=W(x)*A(x)，也就是坐标x处对物理量A的贡献。然而我经过计算发现，假设在一维势场V(x)下，这一权重值W(x)似乎正比于势能指数exp(V(x))，对此我又有两种理解：
第一：一维情况下自由能F(x)就是势能V(x)
第二：之所以权值不是自由能是因为考虑了全体x轴，实际计算时只能算有限多个势能面极小点，用几个极小点的二次函数组合来近似完整的势能场V(x)
请问这两种理解哪一种是正确的？又或者我公式推导有误？

问题三：
MetaDynamics或者伞形采样中，如果彻底的充分采样，CV的选取，尤其是由坐标做非线性变换而来的CV是否还会对自由能垒有影响？比如考虑粒子在均匀势场内运动，自由能理应不发生任何变化，伞形采样每个窗口的分布都一致。但是如果取CV：ξ=sgn(x)*x^2，在x逐渐增加的过程中“拉伸率”越来越大，会导致本来延x均匀分布延ξ变成了越来越密，会否导致按照ξ计算的自由能越来越小？此时在ξ=0处就凭空出现了一个势垒。在伞形采样或者MetaDynamics中，是否会根据CV对坐标的导数或者雅可比行列式消除这一影响？还是说如果对坐标做非线性变换就是会使得自由能发生变化？

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Daniel_Arndt 发表于 2024-3-25 11:44
我提供个偏实用主义的观点，如果你只是服务于使用分子动力学软件的增强采样功能的话，其实你只需要能看懂 h ...

十分感谢

Daniel_Arndt

我提供个偏实用主义的观点，如果你只是服务于使用分子动力学软件的增强采样功能的话，其实你只需要能看懂 https://doi.org/10.1016/j.jcat.2020.04.015 的Supporting Information里的第7节就行了。然后再看看软件的手册，就能明白实际操作大概是个什么流程了。

如果真的要细致讨论的话，那么绕不开的一个问题就是选取的collective variable对于待研究的问题是否合适。你可以看看 https://doi.org/10.1063/5.0020240 、 https://doi.org/10.1063/5.0083423 、 https://doi.org/10.1063/5.0102075 。但这三篇文献里讨论的一些方法较新颖，目前没有成熟的软件来实现。不过你要是看完的话，大概能明白现有的分子动力学软件的增强采样功能的理论基础。

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wzkchem5 发表于 2024-3-24 22:17
（1）所谓在平衡位置算的自由能，确实是如你所说的解释方式，也就是算的其实是以该点为中心做谐振近似的PES ...

十分感谢老师解答！
请问老师哪里可以找到关于自由能估算和PMF等更详细的介绍？给本科生用的统计物理不太够用，关于伞形采样和RRHO等方法的综述文献讲得太笼统了。有无相关的教材推荐？

wzkchem5

（1）所谓在平衡位置算的自由能，确实是如你所说的解释方式，也就是算的其实是以该点为中心做谐振近似的PES的自由能。metadynamics求的所谓的自由能，其实应该叫做potential of mean force (PMF)，它比自由能少积分了一个维度（反应坐标方向上没有积分），把PMF叫做自由能虽然不严谨，但是一般不会导致误解。所以metadynamics求得的所谓的自由能差，如果不做进一步校正的话，是不包括分子在反应坐标方向上的振动的贡献的，因而是近似的，但是一般认为这个误差可以忽略。
（2）由以上分析知，一维情况下的PMF等于势能，但自由能不等于势能，所以这个解释不成立。关键在于，当你谈论一个平衡结构的Boltzmann weight的时候，你一般指的是这个平衡结构附近的一个PES basin的总Boltzmann weight，因为分子结构刚好等于你优化的平衡结构的概率等于0。那么不难看出，起码当每个PES basin都足够深的时候，用自由能是合理的，因为此时你不管以哪个basin的底部为基准做二阶Taylor展开，都基本上只cover了你这一个basin的贡献，而几乎没有囊括进临近basin的贡献。如果有的PES basin特别浅，例如深度与kT可比，那么取自由能做Boltzmann averaging会导致一定的double counting，但是除非要求的计算精度很高，否则这个double counting一般不重要。
（3）原则上需要考虑Jacobian，至于一般习惯上在哪些场合可以不考虑，我就不清楚了