有关Hohenberg-Kohn第一定理的推导问题

Hilbrac

Hohenberg-Kohn第一定理的证明如下：

这里不也可以取等号吗？也就是说，两个不同哈密顿量的基态波函数不能相等吗？

Hilbrac

目前找到了一个补丁，但还是不满意，因为如果波函数不仅仅是在测度为零的区域上为0，而是在若干段测度有限大甚至是无限大的区域上为0，那要怎么办呢？
（这两副证明图均来自知乎）

卡开发发

我不太懂，提一点粗浅的问题：这个不等式作为等式如果成立，那么右侧的积分式要满足什么条件？进而在量子力学中波函数又要满足什么条件，密度是否可以在无限大的区域都为0？

Picardo

公式下面一行不是说基态非简并了嘛，自然就没有等号

Hilbrac

Picardo 发表于 2023-5-12 08:33
公式下面一行不是说基态非简并了嘛，自然就没有等号

基态非简并只是说基态仅唯一对应一个波函数啊，并不代表它不能作为共本态而被两个哈密顿量共享吧。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-12 07:57
我不太懂，提一点粗浅的问题：这个不等式作为等式如果成立，那么右侧的积分式要满足什么条件？进而在量子力 ...

有关“这个不等式作为等式如果成立，那么右侧的积分式要满足什么条件？”这个问题：
如果指的是第一张图，那右侧的积分式都是做恒等变换得来的，并不用满足什么额外条件，只是如果不等式作为等式成立的话，那后面的不等号都会变成等号，最终基态电子密度相等并不会推出矛盾，反证就刚好失效了，但逻辑也能自洽。
有关“进而在量子力学中波函数又要满足什么条件，密度是否可以在无限大的区域都为0”这个问题：
根据上一个问题的我作出的回答，我认为要让反证法不失效，只能证明“这两个不相等的哈密顿量无法拥有完全一样的基态波函数”，而我找到的补丁也是针对这种情况的，唯一还让我难受的就是这个补丁依旧不完美，还解释不清波函数在有限大甚至无限大测度上为0的情况或者是外势场不连续的情况，因此我就来这里求助了，所以，抱歉，针对这个你的这个问题，我还无法给出回答。

Picardo

Hilbrac 发表于 2023-5-12 10:31
基态非简并只是说基态仅唯一对应一个波函数啊，并不代表它不能作为共本态而被两个哈密顿量共享吧。

什么叫被两个哈密顿量共享

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-12 10:47
有关“这个不等式作为等式如果成立，那么右侧的积分式要满足什么条件？”这个问题：
如果指的是第一张图 ...

等式要成立，即右侧的积分要为0，那么要么Vext相同，要么n(r)为0，但是波函数是不是要满足几率解释？如果全空间可以为0，是不是违背？

Hilbrac

Picardo 发表于 2023-5-12 11:49
什么叫被两个哈密顿量共享

不好意思，这里打错了，应该是“哈密顿算符”而非“哈密顿量”，我这里的意思就是可以存在一个波函数是这两个哈密顿算符的共同本征态，同时还都是它们的基态

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-12 12:19
等式要成立，即右侧的积分要为0，那么要么Vext相同，要么n(r)为0，但是波函数是不是要满足几率解释？如果全 ...

可是红线处的等好成立并不需要后面的积分为0啊
退一步讲，就算后面的积分为0，也不能说“要么Vext相同，要么n(r)为0”吧，假设F(r)=Vext(r)*n(r)，我完全可以找到一个全空间上不为0的F(r)，同时其在全空间内的积分为0啊，换句话说，函数为0只是其积分为0的充分不必要条件吧

Picardo

Hilbrac 发表于 2023-5-12 20:26
不好意思，这里打错了，应该是“哈密顿算符”而非“哈密顿量”，我这里的意思就是可以存在一个波函数是这 ...

我们说的系统处于某个状态，代表其波函数是希尔伯特空间中的一个矢量，phi1是系统1的基态，phi2是系统2的状态，那么phi2也可视为1的一个激发态，只要二者粒子数相同，你应该是没有理解这里

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-12 20:30
可是红线处的等好成立并不需要后面的积分为0啊
退一步讲，就算后面的积分为0，也不能说“要么Vext相同， ...

确实，我大意了。你的问题也许与这件事无关，应该是要讨论某个波函数是否可以为两个H共同的本征态，我觉得2楼的推导也许可以这么看：
[(Vext1-Vext2)-(E1-E2)]ψ0=0
case1：Vext1-Vext2是常数E1-E2，2楼已经讨论。
case2：ψ0全域为0，不符合统计解释。
case3：有限长度上ψ0为0，此时这些区域Vext1=Vext2=无穷大势垒，势垒间粒子没办法相互穿透，可能并不能看成是同一个体系；即便可以，其他ψ0非0区域是Vext1-Vext2是常数E1-E2。不过这应该不是一个严谨的说法。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-13 08:00
确实，我大意了。你的问题也许与这件事无关，应该是要讨论某个波函数是否可以为两个H共同的本征态，我觉 ...

是的，case3就是我一直在想的问题，ψ0非0的区域很好说，唯独ψ0为0的区域不好说明，我最开始也想的是“既然都为0，那势垒就是无穷大，数学上虽然不好说，但物理上也许可以将这部分势垒看作是没有区别”，但很快我又想到了共振隧穿这种特殊情况，也就是说即便势垒不是无穷大，也能出现波函数在有限区间内为0的情况，这就困扰住我了，很有可能还有无数个其他特殊情况是我还没想到的，我也无法逐一排查各种特殊情况，所以我觉得要严格证明，就只能从薛定谔方程着手，进行严格的数学上证明，而非讨论特殊情况（比如势垒无穷大的情况）。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-13 08:00
确实，我大意了。你的问题也许与这件事无关，应该是要讨论某个波函数是否可以为两个H共同的本征态，我觉 ...

这里是我从 Hohenberg 和 Kohn 的《非均匀电子气》原文中找到的证明部分，这里也是一笔带过的，感觉实在不负责任啊

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-13 08:00
确实，我大意了。你的问题也许与这件事无关，应该是要讨论某个波函数是否可以为两个H共同的本征态，我觉 ...

终于找到了：https://www.zhihu.com/question/509347440#
这篇知乎中有相关答案，基态波函数式是没有节点的，不过如果根据下面陈童博士的书中节选来看，有关“无节点证明”的部分我还有一点点小疑问，那就是如果节点是X^3那般平滑的节点，又要怎么说明呢？还是说这篇知乎题主说的虚时路径积分才是最好的证明方法？