|
|
本帖最后由 万里云 于 2021-9-9 12:46 编辑
昨天晚上走得急，没来得及细写。这个问题说起来话就长了，得从经典力学讲起。
1. 关于一些物理概念的个人观点
首先，“力学”这个词翻译得不太好，让人隐约感觉是“研究力的学科”。“力学”对应的英文词是mechanics，研究的是“体系在外界因素影响下的运动过程”，更贴切的翻译应该是“动力学”。倘若按照字面意思翻译成“机械学”，又不对味儿了。相比之下，“电动力学”就敏锐地捕捉到了“运动”这一精髓，但这个词在断句上有歧义，容易理解成“电动+力学”，而且忽略了磁场。若翻译成“电磁场动力学”或“电磁动力学”，更合适一点。
所以，看教材和文献一定要看原版。不然容易走弯路。
就拿“不确定性原理”来讲，原词是Principle of Uncertainity，还有一个翻译是“测不准原理”。后一种翻译问题很大。“测不准”暗含的意思是这个物理量的取值是唯一确定的，只不过受观测手段限制，总会有误差。而“不确定”的意思是这个物理量本来就没有唯一确定的值。量子力学中的uncertainty，其实是“不确定”而非“测不准”的意思。
2. 经典力学与量子力学的联系
经典力学有三种形式。我们平时学的最多的是牛顿力学，物理专业的会在《经典力学》中学到拉格朗日力学和哈密顿力学。三种形式是等价的，在具体应用场合下某种形式可能更简便。
既然力学是“研究体系在外界因素影响下的运动过程”，首要问题就是如何描述体系的状态和外界因素。根据牛顿第二定律，体系的加速度由外力决定。所以牛顿力学描述状态用坐标x和速度v两个物理量就够了。外界因素对体系的影响，体现在“力”上。所以在高中和大学物理课上，受力分析是重点内容。在拉格朗日力学中，描述体系状态用广义坐标q和广义速度q_dot，外界的影响用拉式量描述。在哈密顿力学中，描述体系状态用广义坐标q和广义动量p，外界影响用哈密顿量描述。
等等，哈密顿量？这个词好像在哪儿见过？
是的，量子化学里的哈密顿量就是它变的。算符间的不对易关系，也和哈密顿力学中的泊松括号有很大关系。整个量子力学和哈密顿力学的关系非常紧密。哈密顿力学中的物理量，通过一些量子化规则（Bohm规则和Weyl规则），可以直接转化为量子力学中的物理量。区别在于，哈密顿力学中p和q都是实数，量子力学中都变成了算符；哈密顿力学中体系状态由p和q描述，量子力学中体系状态由态矢量描述。从态矢量到实际观测到的物理量之间，差了一个狄拉克记号<psi|A|psi>。
3. 不确定性原理
量子力学中广义坐标和广义动量升级为算符，原本描述体系状态的职责被态矢量接管。这就会导致一些比较反直觉的结论。
根据量子力学的基本假定，对某个态测量某个物理量，得到的值是该物理量对应算符的某个本征值。也就是说，制备N个一模一样的态，每次测量的结果也是不一样的。这时候再说“物理量的取值”就没有意义了，只能统计性地给出期望值和方差。期望值就是<psi|A|psi>。方差就是“不确定度”，严格的数学定义是<psi|A^2|psi> - |<psi|A|psi>|^2。
在量子态中，有一些比较特殊的态。制备N个一模一样的态进行测量，每次得到的结果都一样。这些态就是相应物理量的“本征态”。本征态虽然好，但限制很多。其中最重要的一条就是如果两个物理量对应的算符不对易，就不存在共有的本征态。也就是说，在物理量A的本征态下面测量物理量B，结果就是一团乱麻，反之亦然。
很不幸，广义坐标p和广义动量q就不对易！在广义坐标的本征态下测量粒子的坐标，可以得到唯一确定的坐标值，但动量就完全发散了。根据高量书上的内容，在广义坐标x的本征态下面，测量动量得到的期望值为：<q|p|q'>=i * hbar * d/dq' * delta(q-q')，令q=q'再一求导，结果直接爆炸。
但情况也不是那么糟。广义坐标和广义动量的的本征态都是Delta函数，一般只用来做数学上的证明，现实中不会遇到这样的“病态”。现实中研究的，一般是哈密顿算符的本征态。哈密顿算符同时包含q和p，和其中哪个都不对易。在哈密顿算符本征态下面，测量坐标会有一个分布，测量动量也会有一个分布，两个分布的方差之积不能小于某个值。“不确定原理”一般指的是这个关系。
|
评分 Rate
-
查看全部评分 View all ratings
|
发表于 Post on 2021-9-8 10:10:39
收藏 Add to favorites
楼主 Author