求助：球内点电荷产生的平均电场如何计算

liaorongbao

电磁学教材《Introduction to Electrodynamics》, 作者David J. Griffiths. Reed College。教材电子版文件上传到附件了。

教材中的题目Problem 3.41位于教材156页(PDF文件页码第172页)。

题目的意思是，球内位于r’处的点电荷q在球内产生的平均电场，等同于同样电量q的电荷平均分布在球内时r’处的电场。

我把这个问题简化成了下边的两个小题。分别计算两种情况的电场。

整了一天半了也没整明白，大概超出了我的能力范围。求哪位有缘人能帮我解答这个问题。

我的求解过程见附件.docx文件。同时截图如下：

北大-陶豫

均匀带电球壳在内部是不产生场强的，你可以通过简单的微积分证明一下。

liaorongbao

北大-陶豫 发表于 2023-8-14 10:43
均匀带电球壳在内部是不产生场强的，你可以通过简单的微积分证明一下。

北大-陶豫老师您好！
这个图片的两个题目是根据我自己的理解写的，可能我的描述有问题。
您再帮我看看那个英文原版教材里面的那个题目3.41吧，您是否有空有心情？我现在停在那个题目那里，没法继续读下去了。附件有英文教材，您可以直接打开。

北大-陶豫

liaorongbao 发表于 2023-8-14 11:31
北大-陶豫老师您好！
这个图片的两个题目是根据我自己的理解写的，可能我的描述有问题。
您再帮我看看 ...

sorry，看了一下可能也超出我的能力范围了，谢邀

赵小壮

这是要证明这句话的正确性啊“球内位于r’处的点电荷q在球内产生的平均电场，等同于同样电量q的电荷平均分布在球内时r’处的电场”。例1是后半句话，例2前半句。
例2思路是对的，但是直接对向量做积分不好，你要充分利用对称性，整个球体在\
vec{Or'}轴上的切面对r'点的电场必然指向\
vec{Or'}，所以只需要求大小，方向是已知的，所以这个问题可以转换成圆环以及圆面对中心轴上的一点的求电场，再对圆环及圆面求积分。

liaorongbao

想把这个写错了的帖子删掉(不是把整个话题的帖子都删掉，只删掉这个六楼)。
怎么删啊？
教教我，我自己要学会删，不是让管理员帮我删

liaorongbao

赵小壮 发表于 2023-8-14 15:52
这是要证明这句话的正确性啊“球内位于r’处的点电荷q在球内产生的平均电场，等同于同样电量q的电荷平均分 ...

赵老师有空再瞄一眼。接下来又不知如何处理了

赵小壮

由积分的思想，大体思路是这样的

赵小壮

liaorongbao 发表于 2023-8-14 18:05
赵老师有空再瞄一眼。接下来又不知如何处理了

哎呀，想岔了，是点电荷对球形空间的。流程跟这个一模一样，先求点电荷对圆环的，只求x方向上的和，积分是d\theta，再求对圆盘的，积分是d\r_{环}，最后再积分整个球。明天我重写下

liaorongbao

赵小壮 发表于 2023-8-14 20:35
哎呀，想岔了，是点电荷对球形空间的。流程跟这个一模一样，先求点电荷对圆环的，只求x方向上的和，积分 ...

赵老师的大体思路我似乎明白了。直接把矢量r'(x',y,'z)作为轴。采用垂直于轴的切割方法把这个球切割成带有厚度的圆盘。对每个圆盘，再用画圆的方法切割成半径不等的环。然后从环到盘，再从盘到球。我马上尝试依据赵老师的两个草稿图片把整个过程重写一遍。

liaorongbao

赵小壮 发表于 2023-8-14 20:35
哎呀，想岔了，是点电荷对球形空间的。流程跟这个一模一样，先求点电荷对圆环的，只求x方向上的和，积分 ...

我现在整理到这一步了，但是积分难度还是挺大。用mathematica居然没测试出来积分结果。不过我不太熟悉mathematica的操作细节。
word版解题过程见附件第三版