MECP两个态能量相同的条件

xujian

看到关于MECP的blog，“设两个态波函数分别为|1>和|2>，体系哈密顿算符为H，则这样的两态模型构成2*2哈密顿矩阵，其四个矩阵元包括两个对角元H11=<1|H|1>、H22=<2|H|2>，以及两个等价的耦合矩阵元H12=<1|H|2>=H21=<2|H|1>。让这两个态的能量E1、E2相同需要同时满足两个条件：(1) H11=H22 (2) H12=0。” 为什么H12要等于0，麻烦老师指导一下。

杨小狗

卡开发发 发表于 2016-8-30 23:33
唉。。。我重新找了下资料，发觉原本的推导涉及到的条件和我想的不一样，这个你可以在Landau & Lifshitz ...

等于0了不就是不考虑旋轨耦合了？

卡开发发

xujian 发表于 2016-8-30 15:17
谢谢大神

唉。。。我重新找了下资料，发觉原本的推导涉及到的条件和我想的不一样，这个你可以在Landau & Lifshitz的QM书上的Chapter11的$79小节找到（中英文版本一致）。

书上写的很详细，在这只是简要做些说明：

实际上|1>和|2>并非H的本征态（我之前考虑的差异就在这了），而是H0的本征态，此时假想两者本征值比较接近但并不相等，但只要对系统的原子核稍作移动δr，系统的势能项的增量H'就会变成dH/dr*δr，这两个本征值就会变为E1和E2。通过简并微扰的方法，令|ψ>=c1|1>+c2|2>H|ψ>=(H0+H')|ψ>=E|ψ> --> (H-E)|ψ>=0

依次左乘<1|和<2|，令H11=<1|H|1>、H22=<2|H|2>，H12=<1|H|2>=H21=<2|H|1>，分别得到
c1(H11-E)+c2H12=0
c1H12+c2(H22-E)=0

求解后有
E1=1/2(H11+H22)-1/2√[(H11-H22)^2+4H12^2]
E2=1/2(H11+H22)+1/2√[(H11-H22)^2+4H12^2]
仅当H12=0的时候E1=E2.

不过只考察交叉点处的话，之前的推导也没什么问题。

xujian

卡开发发 发表于 2016-8-30 12:42
|1>和|2>应当是正交归一的，
H12==E2
H21==E1=E1（Hermite性）

谢谢大神

xujian

谢谢sob老师

sobereva

你去求那个2*2哈密顿矩阵的本征值，也就是两个绝热态的能量E1和E2，会有这样的公式

显然必须让H12为0才有可能让E1=E2。否则光是H11=H22，即透热态能量相等，再考虑它们的耦合H12的话，就又不相等了。

卡开发发

|1>和|2>应当是正交归一的，
H12=<1|H|2>=E2<1|2>
H21=<2|H|1>=E1<2|1>=E1<1|2>（Hermite性）
上下两式相减，H12=H21 => (E2-E1)<1|2>=0，考虑条件E1=E2，有两种情形：
（1）<1|2>=1，此时|1>=|2>，H11=H22=H12=H21；
（2）<1|2>=0，E1=E2但|1>和|2>不同，所以此时|1>和|2>是简并态，H12=H21=E1(or E2)*<1|2>=0。
写法不是完全严谨，仅供参考吧。不过说起来直觉上，本征值相同的两个态，不是相同大概也就是简并了。