利用最大熵原理推导玻尔兹曼分布问题

大宏宏

各位老师大家好，我想请教一个物理化学的内容。
顾樵老师的《量子力学I》中有一个利用最大熵原理推导玻尔兹曼分布的推导（附图），但是有些地方我不理解。

(1.1.16)式δS=Σ(1+lnpi)δpi 是利用了 (1.1.10)式S=-K_B Σ pi*ln(pi)对pi求变分得到的。为什么求了变分以后K_B就不见了？
还有，(1.1.25)利用的(1.1.10)式则是有K_B的。

这导致我推导的结果最后出现了一个K_B因子的差别。请问这是我理解错误还是书上有问题呢？

wswrpd

很显然熵S是有单位的，而没有Kb就会量纲不对。你看（1.1.12）不就缺了Kb嘛？
书里很多typo是正常的，因为教授很多时候是为了应付教学任务~

大宏宏

wswrpd 发表于 2024-6-21 19:15
很显然熵S是有单位的，而没有Kb就会量纲不对。你看（1.1.12）不就缺了Kb嘛？
书里很多typo是正常的，因为 ...

这个估计不是印刷错误，因为根据上下文的意思，这里的确是不采用kb的，否则后面有一个结论：T=1/β*K_B就无法被推出。此外，本书的作为是德籍华人，应该不是专门为了搞教学任务出的书。而且，这本书在当当上有比较高的评价。所以，我更加倾向于是我不太理解他的思路，而不是作者原因。

naoki

“计算一个分布的统计熵时，常取kb=1”

大宏宏

naoki 发表于 2024-6-27 13:37
“计算一个分布的统计熵时，常取kb=1”

是的，我注意到这里的说法。但是，后面又不取Kb=1。感觉，这个取值的就有点随意。所以我才不太理解。

cclearner

统计熵的定义里面没有kb, 你看参考书，有人会这么写
S=kblnΩ
但这里kb不是玻尔兹曼常数，而是 proportionality constant。

wxyhgk

这本书有些地方省略了步骤，你需要自己手动推导

废渣

大宏宏 发表于 2024-6-27 21:33
是的，我注意到这里的说法。但是，后面又不取Kb=1。感觉，这个取值的就有点随意。所以我才不太理解。

是也不是吧，采用kb不为1的方法计算变分的时候kb是在求和号外面的，要求变分为0的话只用管求和号里面的东西，所以单从这一步来说用哪个其实没有所谓。但是后面和T挂钩的时候，kb的数值是个绕不过去的量，所以这里不能取kb=1.

妙角不脆

其实直接取温度T为能量量纲更合适，Kb某种意义上是多余的，会在这种计算上增加很多麻烦。