有关Hohenberg-Kohn第一定理的推导问题

Hilbrac

Hohenberg-Kohn第一定理的证明如下：

这里不也可以取等号吗？也就是说，两个不同哈密顿量的基态波函数不能相等吗？

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-10-20 10:40
"那个不等号的来源是|i>和|j>一个是基态一个不是基态的情况下，根据变分原理导致的，这是一开始的条件"， ...

我仔细想了一下case3，如果真的H1和H2具有相同基态ψ，那么(H1-H2)ψ=(E1-E2)ψ对ψ来说应该是全域成立的，因为在ψ非0点E1和E2差个常数应该并不会影响到ψ在0点上的成立。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-10-20 07:57
那个不等号的来源是|i>和|j>一个是基态一个不是基态的情况下，根据变分原理导致的，这是一开始的条件，而 ...

"那个不等号的来源是|i>和|j>一个是基态一个不是基态的情况下，根据变分原理导致的，这是一开始的条件"，这个我认同（虽然“而并不是我们去限定一个特定的|i>的形式使得积分为0倒推到这个不等式的成立”这句话没太懂），但是我一直疑惑的也是这个条件来源，毕竟最开始并没有“H2的基态不是H1的基态”这么一个假定，只是说基态非简并，而|i>=|j>也确实不破坏非简并假设吧。

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-10-19 20:19
但是H1≠H2，即便|i>=|j>，|i>和|j>是同一个量子态也没问题，并不影响后续推导啊。

那个不等号的来源是|i>和|j>一个是基态一个不是基态的情况下，根据变分原理导致的，这是一开始的条件，而并不是我们去限定一个特定的|i>的形式使得积分为0倒推到这个不等式的成立。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-22 14:14
对于相同的H，如果|i>=|j>，这意味着你的量子数也是相同的，所以|i>和|j>就是同一个状态。

但是H1≠H2，即便|i>=|j>，|i>和|j>是同一个量子态也没问题，并不影响后续推导啊。

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-22 12:17
可是 |i> 和 |j> 是否相等跟 H1 和 H2 是否简并并不是一回事吧。
简并指的是两个不同的波函数对应一个本 ...

对于相同的H，如果|i>=|j>，这意味着你的量子数也是相同的，所以|i>和|j>就是同一个状态。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-21 18:54
无所谓，如果H2简并第二个就取等号，第一个大于，整个照样矛盾。当然退一步说，如你给的截图，简并情况也能 ...

可是 |i> 和 |j> 是否相等跟 H1 和 H2 是否简并并不是一回事吧。
简并指的是两个不同的波函数对应一个本征值。
如果 |i>=|j> 的话，并不破坏非简并假设，但却能同时让两个不等号都变成等号。
所以我纠结的一直都是“为啥 |i>和|j> 不相等”这个问题。

Hilbrac

万里云 发表于 2023-5-22 10:54
划线的地方不能取等号啊。

按照假设，psi1和psi2分别是H1和H2的基态波函数，这两个哈密顿量基态又不是简 ...

因为可能有 psi1=psi2 啊，这不破坏“非简并”这一条件，但会让不等号都变成等号。

万里云

划线的地方不能取等号啊。

按照假设，psi1和psi2分别是H1和H2的基态波函数，这两个哈密顿量基态又不是简并的，显然psi2不是H1的基态波函数，psi1也不是H2的基态波函数。

那么在psi2下取H1的期望值，一定大于基态能量E1。同理，在psi1下取H2的期望值，也一定大于E2。怎么会有等号呢？

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-21 13:23
这里的非简并指的并不是“|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”这么一个意思吧，事实上，我也从未听过您这种 ...

无所谓，如果H2简并第二个就取等号，第一个大于，整个照样矛盾。当然退一步说，如你给的截图，简并情况也能有手段（应该是Levy他们的工作）证明出来，所以到底是否H1或H2简并也不怎么重要。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-20 20:28
这条件不是我捏出来的，你的两幅截图里面

也许你还可以仔细再看看他们，简并的情况我自己没试着证明过 ...

We shall in all that follows assume for simplicity that we are only dealing with situations in which the ground state is nondegenerate.

这里的非简并指的并不是“|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”这么一个意思吧，事实上，我也从未听过您这种说法，我也感觉这种说法很奇怪。
总之，这里的非简并意思应该就是普通的“|i>是H1的非简并基态，以及|j>是H2的非简并基态”这么一个意思吧。
至于 “|i>≠|j>” 这一条件，Hohenberg 和 Kohn 在原文中(我划红线的部分)提了一下，但他们说是“显然” ......

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-20 18:03
那毫无疑问， “|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”  是比  “|i>≠|j>”  有着更强约束的条件吧，前者明显 ...

这条件不是我捏出来的，你的两幅截图里面

这里的不等号要求基态是非简并的，我们这里先这么假设(其实简并的情况并不会影响结果，只不过会多些小步骤)。

We shall in all that follows assume for simplicity that we are only dealing with situations in which the ground state is nondegenerate.

也许你还可以仔细再看看他们，简并的情况我自己没试着证明过，也许按照你截图的意思说也能证出来吧。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-19 12:53
不是，即|i>和|j>对H1不会有相同的本征值E1，以及|i>和|j>对H2也不会有相同的本征值E2，就是不简并而已， ...

那毫无疑问， “|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”  是比  “|i>≠|j>”  有着更强约束的条件吧，前者明显是后者的充分不必要条件啊。
明明只要加一个弱约束条件就能搞定，却要放弃它转而假定一个强约束条件，我觉得不大合理。
而且Hohenberg和Kohn的证明原文中也是打了个马虎眼，说“显然 |i>≠|j>”，如果有这个条件的话那推导肯定能成立，我纠结的也是为啥能有 “显然 |i>≠|j>”这么一个结论。

卡开发发

Hilbrac 发表于 2023-5-19 11:47
请问您这里的  “|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”  指的是  “|i>≠|j>”  吗？

不是，即|i>和|j>对H1不会有相同的本征值E1，以及|i>和|j>对H2也不会有相同的本征值E2，就是不简并而已，并不要求不相等。

Hilbrac

卡开发发 发表于 2023-5-19 00:12
其实那些假设都不需要，该解释的也不应该是哪些，我们重新把逻辑捋一下：
首先，|i>是H1的本征态，|j>是 ...

请问您这里的  “|i>和|j>对H1和H2都不是简并的”  指的是  “|i>≠|j>”  吗？