本帖最后由 stecue 于 2015-11-24 05:40 编辑
没什么没什么，一不做二不休，要搞就搞明白。
另外根据格林函数我翻了翻书，发现1/r的傅里叶变换可以用格林函数比较简单的得到：(请在Chrome下用Math Anywhere插件查看公式)
对于泊松方程
$$ -\nabla^2\psi(\mathbf{r})=\rho(\mathbf{r}) $$ 其格林函数满足
$$ -\nabla^2_r G(\mathbf{r,r'})=\delta(\mathbf{r-r'}) $$
两边做傅里叶变换，得
$$-k^2 \tilde{G}(\mathbf{k},\mathbf{r'})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r'}} \to \tilde{G}(\mathbf{k},\mathbf{r'})
=-\frac{1}{k^2}\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r'}}$$简单一点，取$\mathbf{r'}=0$。我们已经知道了泊松方程在三维情况下的格林函数是
$$ G(\mathbf{r,r'})=-\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} $$
所以就得到
$$ \mathcal{F}\left(\frac{1}{|\mathbf{r}|}\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{k^2} $$
不过这个的结论只有在三维情况下才成立。因为只有在三维情况下拉普拉斯算符的格林函数才是1/|r|。参见Arfken, Weber and Harris, Mathematical Methods for Physicists: Acomprehensive Guide, 7E, p463。
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发表于 Post on 2015-11-16 11:53:23
