请问如何证明交换积分一定为正？

liyuanhe211 · 发表于 Post on 2015-11-9 12:59:49

本帖最后由 liyuanhe211 于 2015-11-9 13:00 编辑

stecue 发表于 2015-11-9 12:50
原来是这样。但还是有点晕： = 这一步好像还是把变量编号交换了？也许是因为星号和乘号在这里区分不开？ ...

我把我14楼的帖子更新了一下，你看看这样对不对我认为思想就是用positive operator实现了变量分离

liyuanhe211 · 发表于 Post on 2015-11-9 13:01:33

stecue 发表于 2015-11-9 12:50
原来是这样。但还是有点晕： = 这一步好像还是把变量编号交换了？也许是因为星号和乘号在这里区分不开？ ...

大部分都是零星查的，或者听别人讲的。系统学的话估计要高等代数吧

卡开发发 · 发表于 Post on 2015-11-9 13:28:54

本帖最后由卡开发发于 2015-11-10 15:42 编辑

stecue 发表于 2015-11-9 12:40
从傅里叶展开之后就看懂了。不过还是没明白那个傅里叶变换是怎么回事……

那个其实有点问题。

要注意的是k=0项其实是平均场下的Coulomb项，也应当去除，当然去除后剩下的项还是能够写成共轭的形式，还是非负的。但是问题在于r12是正的，但平均场近似后就是J-K，去除了J是“-K”，这样-K变成了非负的。这显然与我们讨论的相反。

Coulomb势1/rij中限制了ri=!rj，这部分应该扣除，所以前面提到的-K打了引号，这部分FT之后应该是V_k*N对指标k求和。符号同J相反。

这样扣除项和“-K”才是整个-K，但总体很难说得清正负。
详细过程写在下面：

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 03:45:23

本帖最后由 stecue 于 2015-11-10 03:46 编辑

liyuanhe211 发表于 2015-11-9 12:59
我把我14楼的帖子更新了一下，你看看这样对不对我认为思想就是用positive operator实现了变量分离

嗯，关键就是变量分离……哈，在一本泛函分析的书里找到了半正定算符平方根定理的证明（Introductory Functional Analysis with applications by Kreyszig, section 9.4-2），当然好像也可以用半正定矩阵来完全类比（但是大学数学里好像也没学过……）。这样就没问题了。

14楼的1/r12是半正定算符的证明还得再细看一下才能明白，不过总体思路总算都清楚了。牛！

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 03:52:52

卡开发发发表于 2015-11-9 13:28
那个其实有点问题。

要注意的是k=0项其实是平均场下的Coulomb项，也应当去除，当然去除后剩下的项还是 ...

嗯，我用google翻译了一下好像那个意思是在\phi_1, \phi_2正交的情况下（直交する場合），然后blah blah。别人又说用球坐标什么的……彻底晕菜，有空再细细研究。:)

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 06:24:40

liyuanhe211 发表于 2015-11-9 12:59
我把我14楼的帖子更新了一下，你看看这样对不对我认为思想就是用positive operator实现了变量分离

我又看了一下，拉普拉斯算符的逆好像应该是个积分？这样似乎1/r12不直接是逆拉普拉斯算符？

但是由库仑积分恒为正，似乎可以根据定义直接得出1/r12是正定算符？（好像对于任何一对基函数，内积都是库仑积分的形式）——于是就可以方便的进行下一步推理了？

liyuanhe211 · 发表于 Post on 2015-11-10 10:07:19

stecue 发表于 2015-11-10 06:24
我又看了一下，拉普拉斯算符的逆好像应该是个积分？这样似乎1/r12不直接是逆拉普拉斯算符？

但是由库 ...

我写的不够明确，1/r12本来不就是个积分算符？不是真的“1/r12”这个形式，int(dr)1/|r1-r2|

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 12:06:05

本帖最后由 stecue 于 2015-11-10 12:10 编辑

liyuanhe211 发表于 2015-11-10 10:07
我写的不够明确，1/r12本来不就是个积分算符？不是真的“1/r12”这个形式，int(dr)1/|r1-r2|

交换积分已经是个积分了，如果1/|r1-r2|又是一个积分的话，好像积分的次数多了点吧？<ij|1/r12|ji>这种形式里面只有最外面一层积分啊？写成内积的形式，<phi,1/r12 phi>，因为内积本身就是按照积分定义的，1/r12是积分的话不就多了一次积分么？

liyuanhe211 · 发表于 Post on 2015-11-10 14:27:00

stecue 发表于 2015-11-10 12:06
交换积分已经是个积分了，如果1/|r1-r2|又是一个积分的话，好像积分的次数多了点吧？这种形式里面只有最 ...

本来就应该是对r1和r2的二重积分吧，我的理解1/r12算符是对期中一个参数积分，得到另一个参数的函数向量，braket对另一个参数积分，才得到一个数值。

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 22:33:56

本帖最后由 stecue 于 2015-11-10 22:36 编辑

liyuanhe211 发表于 2015-11-10 14:27
本来就应该是对r1和r2的二重积分吧，我的理解1/r12算符是对期中一个参数积分，得到另一个参数的函数向量 ...

不用各种尖括号记号，交换积分写成积分形式是

1/|r1-r2|左边有r1, r2两个变量，右边也有r1,r2两个变量。如果先把1/|r1-r2|右边对r1积分出来的话，左边这个r1可是还没积分。整个积分就变成了r1的函数，而不是一个数值了。
也就是说，交换积分和

并不是一回事哈。交换积分是个数值，后者是关于r1的函数（因为第二步只对r2进行了积分）。

stecue · 发表于 Post on 2015-11-10 22:43:14

stecue 发表于 2015-11-10 22:33
不用各种尖括号记号，交换积分写成积分形式是

1/|r1-r2|左边有r1, r2两个变量，右边也有r1,r2两个变量 ...

好像贴图时不能修改图片大小？不至于吧？

stecue · 发表于 Post on 2015-11-13 06:25:23

卡开发发发表于 2015-11-9 13:28
那个其实有点问题。

要注意的是k=0项其实是平均场下的Coulomb项，也应当去除，当然去除后剩下的项还是 ...

SD是“single determinant”吗？好像不用那么复杂，直接利用球坐标中的傅里叶变换：

似乎就可以写成日文维基里的形式。直接把1/r的傅里叶变换套到1/|r1-r2|上似乎相当对所有r1都进行一次以r1为原点的坐标系平移，好像没大有什么问题，反正最后积分也是要化成累次积分的形式。

卡开发发 · 发表于 Post on 2015-11-13 12:04:08

本帖最后由卡开发发于 2015-11-13 12:05 编辑

stecue 发表于 2015-11-13 06:25
SD是“single determinant”吗？好像不用那么复杂，直接利用球坐标中的傅里叶变换：

似乎就可以写成日 ...

第一步只是为了对比HF。
1/r12变换过来还是有些条件的。当然更重要的是说明交换积分符号问题，不过看来这条路行不通。

stecue · 发表于 Post on 2015-11-13 22:31:02

卡开发发发表于 2015-11-13 12:04
第一步只是为了对比HF。
1/r12变换过来还是有些条件的。当然更重要的是说明交换积分符号问题，不过看来这 ...

好像没有什么特别的条件，我研究了一下如果是汤川势的话一定是可以的。汤川势只是长程收敛的快一些，可以任意逼近库伦势。而且对于实际遇到的数值积分，积分上限本来就不可能是无穷远，积分值是不会发散的，所以好像没什么问题？

卡开发发 · 发表于 Post on 2015-11-13 23:38:14

本帖最后由卡开发发于 2015-11-13 23:41 编辑

stecue 发表于 2015-11-13 22:31
好像没有什么特别的条件，我研究了一下如果是汤川势的话一定是可以的。汤川势只是长程收敛的快一些，可以 ...

Yokawa势的变换确实严格，但对于Coulomb势需要令屏蔽因子趋于0.但任意1/r12当中都有r1和r2不相等的要求，这部分应该扣除。
BTW，这公式还真够大的。。。

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[量化理论] 请问如何证明交换积分一定为正？